ການເດີນທາງໄປສູ່ໂລກທີ່ບໍ່ເປັນຈິງຂອງຄະນິດສາດ

ຂ້າ​ພະ​ເຈົ້າ​ໄດ້​ຂຽນ​ບົດ​ຄວາມ​ນີ້​ໃນ​ວັນ​ພຸດ​ມື້​ຫນຶ່ງ​ຫຼັງ​ຈາກ​ການ​ບັນ​ຍາຍ​ແລະ​ການ​ປະ​ຕິ​ບັດ​ຢູ່​ທີ່​ວິ​ທະ​ຍາ​ໄລ​ວິ​ທະ​ຍາ​ສາດ​ຄອມ​ພິວ​ເຕີ. ຂ້າ​ພະ​ເຈົ້າ​ປ້ອງ​ກັນ​ຕົນ​ເອງ​ຈາກ​ການ​ວິ​ຈານ​ຂອງ​ນັກ​ຮຽນ​ຂອງ​ໂຮງ​ຮຽນ​ນີ້​, ຄວາມ​ຮູ້​ຂອງ​ເຂົາ​ເຈົ້າ​, ທັດ​ສະ​ນະ​ຄະ​ຕໍ່​ວິ​ທະ​ຍາ​ສາດ​ແລະ​ທີ່​ສໍາ​ຄັນ​ທີ່​ສຸດ​: ທັກ​ສະ​ການ​ຮຽນ​ຮູ້​. ນີ້ ... ບໍ່ມີໃຜສອນພວກເຂົາ.

ເປັນຫຍັງຂ້ອຍຈຶ່ງປ້ອງກັນຫຼາຍ? ສໍາລັບເຫດຜົນງ່າຍໆ - ຂ້ອຍຢູ່ໃນອາຍຸ, ອາດຈະເປັນ, ໂລກທີ່ຢູ່ອ້ອມຂ້າງຂ້ອຍຍັງບໍ່ທັນເຂົ້າໃຈ. ບາງທີຂ້ອຍອາດຈະສອນເຂົາເຈົ້າວິທີ harness ແລະ unharness ມ້າ, ແທນທີ່ຈະຂັບລົດ? ບາງທີຂ້ອຍອາດຈະສອນເຂົາເຈົ້າໃຫ້ຂຽນດ້ວຍປາກກາ? ເຖິງ​ແມ່ນ​ວ່າ​ຂ້າ​ພະ​ເຈົ້າ​ມີ​ຄວາມ​ຄິດ​ເຫັນ​ທີ່​ດີກ​ວ່າ​ຂອງ​ບຸກ​ຄົນ, ຂ້າ​ພະ​ເຈົ້າ​ເຊື່ອ​ວ່າ​ຂ້າ​ພະ​ເຈົ້າ “ເຮັດ​ຕາມ”, ແຕ່ ...

ຈົນກ່ວາບໍ່ດົນມານີ້, ໃນໂຮງຮຽນມັດທະຍົມ, ພວກເຂົາເຈົ້າໄດ້ເວົ້າກ່ຽວກັບຕົວເລກຊັບຊ້ອນ. ແລະມັນແມ່ນໃນວັນພຸດນີ້ທີ່ຂ້ອຍກັບບ້ານ, ເຊົາ - ເກືອບບໍ່ມີນັກຮຽນໄດ້ຮຽນຮູ້ວ່າມັນແມ່ນຫຍັງແລະວິທີການໃຊ້ຕົວເລກເຫຼົ່ານີ້. ບາງ​ຄົນ​ເບິ່ງ​ຄະ​ນິດ​ສາດ​ທັງ​ຫມົດ​ຄື goose ຢູ່​ທີ່​ປະ​ຕູ​ທີ່​ທາ​ສີ. ແຕ່​ຂ້ອຍ​ກໍ​ແປກ​ໃຈ​ດ້ວຍ​ຄວາມ​ຈິງ​ໃຈ​ເມື່ອ​ເຂົາ​ເຈົ້າ​ບອກ​ຂ້ອຍ​ວິທີ​ຮຽນ. ເວົ້າງ່າຍໆ, ທຸກໆຊົ່ວໂມງຂອງການບັນຍາຍແມ່ນສອງຊົ່ວໂມງຂອງການຮຽນຢູ່ເຮືອນ: ອ່ານປື້ມແບບຮຽນ, ການຝຶກອົບຮົມເບື້ອງຕົ້ນໃນການແກ້ໄຂບັນຫາໃນຫົວຂໍ້ໃດຫນຶ່ງ, ແລະອື່ນໆ. ການກະກຽມດ້ວຍວິທີນີ້, ພວກເຮົາມາອອກກໍາລັງກາຍ, ບ່ອນທີ່ພວກເຮົາປັບປຸງທຸກສິ່ງທຸກຢ່າງ ... ທີ່ຫນ້າພໍໃຈ, ນັກຮຽນຄິດວ່າການນັ່ງຢູ່ໃນການບັນຍາຍ - ສ່ວນຫຼາຍມັກຈະເບິ່ງອອກໄປນອກປ່ອງຢ້ຽມ - ຮັບປະກັນວ່າຄວາມຮູ້ຈະເຂົ້າໄປໃນຫົວ.

ຢຸດ! ພໍ​ແລ້ວ. ຂ້າພະເຈົ້າຈະອະທິບາຍຄໍາຕອບຂອງຂ້າພະເຈົ້າຕໍ່ກັບຄໍາຖາມທີ່ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ຮັບໃນລະຫວ່າງຫ້ອງຮຽນກັບເພື່ອນຈາກກອງທຶນເດັກນ້ອຍແຫ່ງຊາດ, ສະຖາບັນທີ່ສະຫນັບສະຫນູນເດັກນ້ອຍທີ່ມີພອນສະຫວັນຈາກທົ່ວປະເທດ. ຄໍາຖາມ (ຫຼືແທນທີ່ຈະເປັນການສະເຫນີ) ແມ່ນ:

— ເຈົ້າບອກພວກເຮົາບາງຢ່າງກ່ຽວກັບຕົວເລກທີ່ບໍ່ຈິງໄດ້ບໍ?

“ແນ່ນອນ,” ຂ້ອຍຕອບ. 

ຄວາມເປັນຈິງຂອງຕົວເລກ

"ເພື່ອນແມ່ນຂ້ອຍອີກຄົນຫນຶ່ງ, ມິດຕະພາບແມ່ນອັດຕາສ່ວນຂອງຕົວເລກ 220 ແລະ 284," Pythagoras ເວົ້າ. ຈຸດຢູ່ທີ່ນີ້ແມ່ນວ່າຜົນບວກຂອງຕົວຫານຂອງເລກ 220 ເທົ່າກັບ 284, ແລະຜົນບວກຂອງຕົວຫານຂອງເລກ 284 ເທົ່າກັບ 220:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220

1 + 2 + 4 + 5 + 10 = 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284. ຫມາຍເຫດໂດຍວິທີທີ່ຢາໂຄບໃນພຣະຄໍາພີໄດ້ໃຫ້ແກະແລະແກະຂອງເອຊາວ 220 ໂຕເປັນເຄື່ອງຫມາຍຂອງມິດຕະພາບ (ປະຖົມມະການ 32: 14).

ຄວາມບັງເອີນທີ່ຫນ້າສົນໃຈອີກອັນຫນຶ່ງລະຫວ່າງຕົວເລກ 220 ແລະ 284 ແມ່ນ: ສິບເຈັດຕົວເລກສູງສຸດແມ່ນ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, ແລະ 59.

ຜົນລວມຂອງພວກມັນແມ່ນ 2x220, ແລະຜົນລວມຂອງສີ່ຫຼ່ຽມແມ່ນ 59x284.

ທໍາອິດ. ບໍ່ມີແນວຄວາມຄິດຂອງ "ຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງ". ມັນຄືກັບວ່າຫຼັງຈາກອ່ານບົດຄວາມກ່ຽວກັບຊ້າງທີ່ທ່ານຖາມວ່າ, "ຕອນນີ້ພວກເຮົາຈະຖາມຫາຊ້າງທີ່ບໍ່ແມ່ນຊ້າງ." ມີທັງຫມົດແລະບໍ່ຄົບຖ້ວນ, ສົມເຫດສົມຜົນແລະບໍ່ມີເຫດຜົນ, ແຕ່ບໍ່ມີສິ່ງທີ່ບໍ່ເປັນຈິງ. ໂດຍສະເພາະ: ຕົວເລກທີ່ບໍ່ແມ່ນຕົວຈິງບໍ່ໄດ້ຖືກເອີ້ນວ່າບໍ່ຖືກຕ້ອງ. ມີຫຼາຍປະເພດຂອງ "ຕົວເລກ" ໃນຄະນິດສາດ, ແລະພວກມັນແຕກຕ່າງຈາກກັນແລະກັນ - ເພື່ອເອົາການປຽບທຽບສັດ - ຊ້າງແລະແມ່ທ້ອງ.

ອັນທີສອງ, ພວກເຮົາຈະດໍາເນີນການທີ່ທ່ານອາດຈະຮູ້ແລ້ວວ່າຖືກຫ້າມ: ເອົາຮາກສີ່ຫລ່ຽມຂອງຕົວເລກລົບ. ດີ, ຄະນິດສາດຈະເອົາຊະນະອຸປະສັກດັ່ງກ່າວ. ນີ້ເຮັດໃຫ້ຄວາມຮູ້ສຶກບໍ່? ໃນຄະນິດສາດ, ຄືກັບວິທະຍາສາດອື່ນໆ: ທິດສະດີໃດ ໜຶ່ງ ຈະເຂົ້າໄປໃນບ່ອນເກັບມ້ຽນຂອງຄວາມຮູ້ຕະຫຼອດໄປແມ່ນຂື້ນກັບການ ນຳ ໃຊ້ຂອງມັນ. ຖ້າມັນບໍ່ມີປະໂຍດ, ຫຼັງຈາກນັ້ນມັນສິ້ນສຸດລົງຢູ່ໃນຖັງຂີ້ເຫຍື້ອ, ຫຼັງຈາກນັ້ນໃນຂີ້ເຫຍື້ອບາງໃນປະຫວັດສາດຂອງຄວາມຮູ້. ຖ້າບໍ່ມີຕົວເລກທີ່ຂ້ອຍເວົ້າກ່ຽວກັບໃນຕອນທ້າຍຂອງບົດຄວາມນີ້, ມັນເປັນໄປບໍ່ໄດ້ທີ່ຈະພັດທະນາຄະນິດສາດ. ແຕ່ໃຫ້ເລີ່ມຕົ້ນດ້ວຍສິ່ງເລັກນ້ອຍ. ເຈົ້າຮູ້ວ່າຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງແມ່ນຫຍັງ. ພວກເຂົາຕື່ມເສັ້ນຕົວເລກຢ່າງແຫນ້ນຫນາແລະບໍ່ມີຊ່ອງຫວ່າງ. ທ່ານຍັງຮູ້ວ່າຕົວເລກທໍາມະຊາດແມ່ນຫຍັງ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, …….. - ພວກມັນທັງຫມົດຈະບໍ່ເຫມາະໃນ. ຄວາມຊົງຈໍາເຖິງແມ່ນວ່າຍິ່ງໃຫຍ່ທີ່ສຸດ. ພວກເຂົາຍັງມີຊື່ທີ່ສວຍງາມ: ທໍາມະຊາດ. ພວກເຂົາເຈົ້າມີຄຸນສົມບັດທີ່ຫນ້າສົນໃຈຫຼາຍດັ່ງນັ້ນ. ເຈົ້າມັກອັນນີ້ແນວໃດ:

1 + 15 + 42 + 98 + 123 + 179 + 206 + 220 = 3 + 11 + 46 + 92 + 129 + 175 + 210 + 218.

1² + 15² + 42² + 98² + 123² + 179² + 206² + 220² = 3² + 11² + 46² + 92² + 129² + 175² + 210² + 218²

1³ + 15³ + 42³ + 98³ + 123³ + 179³ + 206³ + 220³ = 3³ + 11³ + 46³ + 92³ + 129³ + 175³ + 210³ + 218³

1⁴ + 15⁴ + 42⁴ + 98⁴ + 123⁴ + 179⁴ + 206⁴ + 220⁴ = 3⁴ + 11⁴ + 46⁴ + 92⁴ + 129⁴ + 175⁴ + 210⁴ + 218⁴

1⁵ + 15⁵ + 42⁵ + 98⁵ + 123⁵ + 179⁵ + 206⁵ + 220⁵ = 3⁵ + 11⁵ + 46⁵ + 92⁵ + 129⁵ + 175⁵ + 210⁵ + 218⁵

1⁶ + 15⁶ + 42⁶ + 98³ + 123⁶ + 179⁶ + 206⁶ + 220⁶ = 3⁶ + 11⁶ + 46⁶ + 92⁶ + 129⁶ + 175⁶ + 210⁶ + 218⁶

1⁷ + 15⁷ + 42⁷ + 98³ + 123⁷ + 179⁷ + 206⁷ + 220⁷ = 3⁷ + 11⁷ + 46⁷ + 92⁷ + 129⁷ + 175⁷ + 210⁷ + 218⁷

Carl Lindenholm ກ່າວວ່າ "ມັນເປັນເລື່ອງທໍາມະຊາດທີ່ຈະສົນໃຈຕົວເລກທໍາມະຊາດ," ແລະ Leopold Kronecker (1823-1891) ກ່າວໂດຍຫຍໍ້ວ່າ: "ພຣະເຈົ້າໄດ້ສ້າງຕົວເລກທໍາມະຊາດ - ທຸກສິ່ງທຸກຢ່າງແມ່ນວຽກງານຂອງມະນຸດ!" ເສດສ່ວນ (ເອີ້ນວ່າຕົວເລກສົມເຫດສົມຜົນໂດຍນັກຄະນິດສາດ) ຍັງມີຄຸນສົມບັດທີ່ຫນ້າອັດສະຈັນ:

ແລະ​ຄວາມ​ສະ​ເຫມີ​ພາບ​:

ທ່ານສາມາດ, ເລີ່ມຕົ້ນຈາກເບື້ອງຊ້າຍ, rub pluses ແລະທົດແທນພວກມັນດ້ວຍເຄື່ອງຫມາຍການຄູນ - ແລະຄວາມສະເຫມີພາບຈະຍັງຄົງຢູ່:

ແລະອື່ນໆ.

ດັ່ງທີ່ຮູ້ກັນ, ສໍາລັບເສດສ່ວນ a/b, ເຊິ່ງ a ແລະ b ເປັນຈຳນວນເຕັມ ແລະ b ≠ 0, ພວກເຂົາເວົ້າວ່າ ຈໍາ​ນວນ​ສົມ​ເຫດ​ສົມ​ຜົນ​. ແຕ່ພວກເຂົາພຽງແຕ່ເອີ້ນຕົວເອງວ່າໃນພາສາໂປໂລຍ. ພວກເຂົາເວົ້າພາສາອັງກິດ, ຝຣັ່ງ, ເຢຍລະມັນແລະລັດເຊຍ. ຈໍາ​ນວນ​ສົມ​ເຫດ​ສົມ​ຜົນ​. ໃນພາສາອັງກິດ: ຕົວເລກສົມເຫດສົມຜົນ. ຕົວເລກທີ່ບໍ່ສົມເຫດສົມຜົນ ມັນ irrational, irrational. ພວກເຮົາຍັງເວົ້າເປັນພາສາໂປແລນກ່ຽວກັບທິດສະດີທີ່ບໍ່ສົມເຫດສົມຜົນ, ຄວາມຄິດແລະການກະທໍາ - ນີ້ແມ່ນຄວາມບ້າ, ຈິນຕະນາການ, ອະທິບາຍບໍ່ໄດ້. ເຂົາເຈົ້າເວົ້າວ່າຜູ້ຍິງຢ້ານໜູ - ມັນບໍ່ສົມເຫດສົມຜົນປານໃດ?

ໃນສະໄຫມໂບຮານ, ຕົວເລກມີຈິດວິນຍານ. ແຕ່ລະຄົນຫມາຍເຖິງບາງສິ່ງບາງຢ່າງ, ແຕ່ລະສັນຍາລັກບາງສິ່ງບາງຢ່າງ, ແຕ່ລະຄົນສະທ້ອນໃຫ້ເຫັນເຖິງອະນຸພາກຂອງຄວາມກົມກຽວກັນຂອງຈັກກະວານ, ນັ້ນແມ່ນ, ໃນພາສາກເຣັກ, Cosmos. ຄໍາວ່າ "cosmos" ຕົວຂອງມັນເອງຫມາຍຄວາມວ່າ "ຄໍາສັ່ງ, ຄໍາສັ່ງ." ທີ່ສໍາຄັນທີ່ສຸດແມ່ນຫົກ (ຕົວເລກທີ່ສົມບູນແບບ) ແລະສິບ, ຜົນລວມຂອງຕົວເລກຕິດຕໍ່ກັນ 1 + 2 + 3 + 4, ເຊິ່ງປະກອບດ້ວຍຕົວເລກອື່ນໆ, ສັນຍາລັກທີ່ມີຊີວິດຢູ່ມາຈົນເຖິງທຸກມື້ນີ້. ດັ່ງນັ້ນ Pythagoras ສອນວ່າຕົວເລກແມ່ນຈຸດເລີ່ມຕົ້ນແລະແຫຼ່ງຂອງທຸກສິ່ງທຸກຢ່າງ, ແລະມີພຽງແຕ່ການຄົ້ນພົບເທົ່ານັ້ນ ຕົວເລກທີ່ບໍ່ສົມເຫດສົມຜົນ ຫັນການເຄື່ອນໄຫວ Pythagorean ໄປສູ່ເລຂາຄະນິດ. ພວກເຮົາຮູ້ເຫດຜົນຈາກໂຮງຮຽນວ່າ

√2 - ຈໍານວນບໍ່ສົມເຫດສົມຜົນ

ສໍາ​ລັບ​ການ​ສົມ​ມຸດ​ວ່າ​ມີ​: ແລະ​ວ່າ​ສ່ວນ​ຫນຶ່ງ​ນີ້​ບໍ່​ສາ​ມາດ​ຫຼຸດ​ຜ່ອນ​ໄດ້​. ໂດຍສະເພາະ, ທັງ p ແລະ q ແມ່ນຄີກ. ຈ່ ງົ ຈ່ ງົ ສອງ: 2q²=p². ຕົວເລກ p ບໍ່ສາມາດເປັນຄີກໄດ້, ນັບຕັ້ງແຕ່ນັ້ນມາ p² ເຊັ່ນດຽວກັນ, ແລະເບື້ອງຊ້າຍຂອງຄວາມສະເຫມີພາບແມ່ນຜົນຄູນຂອງ 2. ດັ່ງນັ້ນ, p ແມ່ນຄູ່, i.e., p = 2r, ເພາະສະນັ້ນ p.²= 4 ລ². ພວກເຮົາຫຼຸດລົງສົມຜົນ 2q²= 4 ລ² ໂດຍ 2. ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ q²= 2 ລ² ແລະພວກເຮົາເຫັນວ່າ q ຍັງຈະຕ້ອງເປັນຄູ່, ແລະພວກເຮົາສົມມຸດວ່າມັນບໍ່ແມ່ນ. ຄວາມຂັດແຍ້ງທີ່ເປັນຜົນມາຈາກການສໍາເລັດຫຼັກຖານ – ສູດ​ນີ້​ມັກ​ຈະ​ພົບ​ເຫັນ​ຢູ່​ໃນ​ປຶ້ມ​ຄະ​ນິດ​ສາດ​ທຸກ​. ຫຼັກຖານທາງອ້ອມນີ້ແມ່ນເຕັກນິກ favorite ຂອງ sophists ໄດ້.

ຄວາມຍິ່ງໃຫຍ່ນີ້ບໍ່ສາມາດເຂົ້າໃຈໄດ້ໂດຍ Pythagoreans. ທຸກສິ່ງທຸກຢ່າງຕ້ອງສາມາດອະທິບາຍໄດ້ໂດຍຕົວເລກ, ແລະເສັ້ນຂວາງຂອງສີ່ຫຼ່ຽມມົນ, ເຊິ່ງໃຜສາມາດແຕ້ມດ້ວຍໄມ້ຢູ່ໃນດິນຊາຍ, ບໍ່ມີ, ນັ້ນແມ່ນ, ສາມາດວັດແທກໄດ້, ຄວາມຍາວ. "ຄວາມເຊື່ອຂອງພວກເຮົາບໍ່ມີປະໂຍດ," ຊາວ Pythagoreans ເບິ່ງຄືວ່າເວົ້າ. ແນວໃດ? ມັນເປັນປະເພດຂອງ ... irrational. ສະຫະພັນໄດ້ພະຍາຍາມຊ່ວຍປະຢັດຕົນເອງໂດຍວິທີການຂອງນິກາຍ. ໃຜກໍຕາມທີ່ກ້າທີ່ຈະເປີດເຜີຍການມີຢູ່ຂອງເຂົາເຈົ້າ ຕົວເລກທີ່ບໍ່ສົມເຫດສົມຜົນ, ແມ່ນຈະຖືກລົງໂທດໂດຍການເສຍຊີວິດ, ແລະ, ປາກົດຂື້ນ, ປະໂຫຍກທໍາອິດໄດ້ຖືກປະຕິບັດໂດຍນາຍຂອງຕົນເອງ.

ແຕ່ "ຄວາມຄິດບໍ່ເປັນອັນຕະລາຍ." ຍຸກທອງມາຮອດແລ້ວ. ຊາວກຣີກໄດ້ເອົາຊະນະຊາວເປີເຊຍ (ມາຣາທອນ 490, Plache 479). ປະຊາທິປະ​ໄຕ​ໄດ້​ຮັບ​ຄວາມ​ເຂັ້ມ​ແຂງ, ສູນ​ກາງ​ແນວ​ຄິດ​ປັດຊະຍາ​ໃໝ່ ​ແລະ ​ໂຮງຮຽນ​ໃໝ່​ກໍ່​ປະກົດ​ຂຶ້ນ. ຜູ້ຕິດຕາມຂອງ Pythagoreanism ຍັງຕໍ່ສູ້ກັບຕົວເລກທີ່ບໍ່ສົມເຫດສົມຜົນ. ບາງຄົນປະກາດວ່າ: ພວກເຮົາຈະບໍ່ເຂົ້າໃຈຄວາມລຶກລັບນີ້; ພວກເຮົາພຽງແຕ່ສາມາດໄຕ່ຕອງມັນແລະຊົມເຊີຍ Uncharted. ສຸດທ້າຍແມ່ນປະຕິບັດຫຼາຍແລະບໍ່ເຄົາລົບຄວາມລັບ. ໃນເວລານັ້ນ, ການກໍ່ສ້າງທາງຈິດສອງຢ່າງປະກົດວ່າເຮັດໃຫ້ມັນເປັນໄປໄດ້ທີ່ຈະເຂົ້າໃຈຕົວເລກທີ່ບໍ່ສົມເຫດສົມຜົນ. ຄວາມຈິງທີ່ວ່າພວກເຮົາໃນມື້ນີ້ເຂົ້າໃຈພວກເຂົາຂ້ອນຂ້າງດີເປັນຂອງ Eudoxus (ສະຕະວັດທີ XNUMX BC), ແລະພຽງແຕ່ໃນຕອນທ້າຍຂອງສະຕະວັດທີ XNUMX ໄດ້, ນັກຄະນິດສາດເຍຍລະມັນ Richard Dedekind ໃຫ້ທິດສະດີ Eudoxus ຂອງການພັດທະນາໂດຍສອດຄ່ອງກັບຂໍ້ກໍານົດຂອງເຫດຜົນທາງຄະນິດສາດທີ່ເຄັ່ງຄັດ.

ຈໍານວນຈໍານວນຫລາຍຫຼືການທໍລະມານ

ເຈົ້າສາມາດດໍາລົງຊີວິດໂດຍບໍ່ມີຕົວເລກໄດ້ບໍ? ເຖິງແມ່ນວ່າ, ຊີວິດຈະເປັນແນວໃດ ... ພວກເຮົາຈະຕ້ອງໄປຫາຮ້ານເພື່ອຊື້ເກີບທີ່ມີໄມ້, ເຊິ່ງກ່ອນຫນ້ານີ້ພວກເຮົາໄດ້ວັດແທກຄວາມຍາວຂອງຕີນ. "ຂ້ອຍຢາກຫມາກໂປມ, ໂອ້, ນີ້ແມ່ນ!" – ພວກເຮົາຈະສະແດງໃຫ້ຜູ້ຂາຍຢູ່ຕະຫຼາດ. "ມັນໄກຈາກ Modlin ເຖິງ Nowy Dwór Mazowiecki"? “ໃກ້​ແລ້ວ!”

ຕົວເລກຖືກນໍາໃຊ້ເພື່ອວັດແທກ. ພວກເຮົາຍັງໃຊ້ພວກມັນເພື່ອສະແດງແນວຄວາມຄິດອື່ນໆຈໍານວນຫຼາຍ. ຕົວຢ່າງ, ຂະຫນາດຂອງແຜນທີ່ສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າພື້ນທີ່ຂອງປະເທດໄດ້ຫຼຸດລົງຫຼາຍປານໃດ. ຂະຫນາດສອງຕໍ່ຫນຶ່ງ, ຫຼືພຽງແຕ່ 2, ສະແດງຄວາມຈິງທີ່ວ່າບາງສິ່ງບາງຢ່າງໄດ້ຖືກເພີ່ມຂຶ້ນສອງເທົ່າ. ໃຫ້ສົມມຸດທາງຄະນິດສາດ: ຄວາມຄ້າຍຄືກັນຂອງແຕ່ລະແມ່ນເທົ່າກັບຕົວເລກ - ຂະຫນາດຂອງມັນ.

ວຽກງານ. ພວກເຮົາເຮັດສໍາເນົາ xerographic, ຂະຫຍາຍຮູບພາບຫຼາຍຄັ້ງ. ຫຼັງ​ຈາກ​ນັ້ນ​, ຊິ້ນ​ຂະ​ຫນາດ​ໃຫຍ່​ໄດ້​ເພີ່ມ​ຂຶ້ນ​ອີກ​ເທື່ອ​ຫນຶ່ງ b​. ຂະໜາດການຂະຫຍາຍໂດຍທົ່ວໄປແມ່ນຫຍັງ? ຕອບ: a × b ຄູນດ້ວຍ b. ເກັດເຫຼົ່ານີ້ຈໍາເປັນຕ້ອງໄດ້ຄູນ. ຕົວເລກລົບຫນຶ່ງ, -1, ກົງກັບຄວາມແມ່ນຍໍາອັນຫນຶ່ງທີ່ຕັ້ງໄວ້ກາງ, ນັ້ນແມ່ນ, ການຫມຸນຂອງ 180 ອົງສາ. ຕົວເລກໃດທີ່ກົງກັບການຫມຸນ 90 ອົງສາ? ບໍ່ມີຕົວເລກດັ່ງກ່າວ. ມັນແມ່ນ, ມັນແມ່ນ ... ຫຼືແທນທີ່ຈະ, ມັນຈະເປັນໃນໄວໆນີ້. ທ່ານກຽມພ້ອມສໍາລັບການທໍລະມານທາງຈິດບໍ? ຈົ່ງກ້າຫານແລະເອົາຮາກສີ່ຫລ່ຽມຂອງລົບຫນຶ່ງ. ຂ້ອຍກຳລັງຟັງຢູ່ບໍ? ເຈົ້າເຮັດຫຍັງບໍ່ໄດ້? ຫຼັງຈາກທີ່ທັງຫມົດ, ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ບອກທ່ານໃຫ້ກ້າຫານ. ດຶງມັນອອກ! Hey, ດີ, ດຶງ, ດຶງ ... ຂ້ອຍຈະຊ່ວຍ ... ນີ້: −1 ຕອນນີ້ພວກເຮົາມີມັນ, ໃຫ້ລອງໃຊ້ມັນ ... ແນ່ນອນ, ຕອນນີ້ພວກເຮົາສາມາດເອົາຮາກຂອງຕົວເລກລົບທັງຫມົດ, ສໍາລັບ. ຕົວຢ່າງ.:

√-4 = 2√-1, √-16 = 4√-1

- "ໂດຍບໍ່ຄໍານຶງເຖິງຄວາມເຈັບປວດທາງຈິດໃຈທີ່ມັນເຮັດໃຫ້ເກີດ." ນີ້ແມ່ນສິ່ງທີ່ Girolamo Cardano ຂຽນໃນປີ 1539, ພະຍາຍາມເອົາຊະນະຄວາມຫຍຸ້ງຍາກທາງດ້ານຈິດໃຈທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບ - ຍ້ອນວ່າມັນທັນທີທີ່ຖືກເອີ້ນວ່າ - ປະລິມານຈິນຕະນາການ. ລາວຄິດແບບນີ້...

...ວຽກງານ. ແບ່ງ 10 ອອກເປັນສອງສ່ວນ, ຜະລິດຕະພັນທີ່ເທົ່າກັບ 40. ຂ້າພະເຈົ້າຈື່ຈາກຕອນທີ່ຜ່ານມາທີ່ລາວຂຽນບາງສິ່ງບາງຢ່າງເຊັ່ນນີ້: ແນ່ນອນເປັນໄປບໍ່ໄດ້. ຢ່າງໃດກໍຕາມ, ໃຫ້ເຮັດສິ່ງນີ້: ແບ່ງ 10 ເປັນສອງສ່ວນເທົ່າທຽມກັນ, ແຕ່ລະຄົນເທົ່າກັບ 5. ຄູນ - ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ 25. ຈາກຜົນໄດ້ຮັບ 25 ຕອນນີ້ພວກເຮົາລົບ 40, ຖ້າທ່ານຕ້ອງການ, ແລະພວກເຮົາໄດ້ຮັບ -15. ຕອນນີ້ເບິ່ງ: √-15 ເພີ່ມແລະລົບຈາກ 5 ໃຫ້ທ່ານໄດ້ຜົນກໍາໄລຂອງ 40. ຕົວເລກເຫຼົ່ານັ້ນແມ່ນ 5-√-15 ແລະ 5 + √-15. ຜົນໄດ້ຮັບໄດ້ຖືກກວດສອບໂດຍ Cardano ດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

“ໂດຍບໍ່ຄໍານຶງເຖິງຄວາມເຈັບປວດທາງຈິດອັນນີ້, ໃຫ້ຄູນ 5 + √-15 ດ້ວຍ 5-√-15. ພວກເຮົາໄດ້ຮັບ 25 – (-15), ເຊິ່ງເທົ່າກັບ 25 + 15. ດັ່ງນັ້ນ, ຜະລິດຕະພັນແມ່ນ 40…. ມັນຍາກແທ້ໆ."

ຈ່ ງົ ຈ່ ງົ: (1 + √-1) (1-√-1)? ໃຫ້ຄູນ. ຈົ່ງຈື່ໄວ້ວ່າ √−1 × √−1 = −1. ຍິ່ງໃຫຍ່. ໃນປັດຈຸບັນບັນຫາທີ່ມີຄວາມຫຍຸ້ງຍາກຫຼາຍ: ຈາກ a + b√-1 ຫາ ab√-1. ເກີດ​ຫຍັງ​ຂຶ້ນ? ແນ່ນອນ, ເຊັ່ນນີ້: (a + b√-1) (ab√-1) = a²+b²

ສິ່ງທີ່ຫນ້າສົນໃຈຫຼາຍກ່ຽວກັບເລື່ອງນີ້? ຕົວຢ່າງ, ຄວາມຈິງທີ່ວ່າພວກເຮົາສາມາດປັດໄຈການສະແດງອອກທີ່ພວກເຮົາ "ບໍ່ຮູ້ມາກ່ອນ." ສູດຄູນແບບຫຍໍ້ສຳລັບ²-b² ທ່ານອາດຈະຈື່ຈໍາສູດສໍາລັບ²+b² ມັນ​ບໍ່​ໄດ້​ເກີດ​ຂຶ້ນ​ເພາະ​ວ່າ​ມັນ​ບໍ່​ສາ​ມາດ​ເກີດ​ຂຶ້ນ​. ໃນໂດເມນຂອງຕົວເລກທີ່ແທ້ຈິງ, polynomial²+b² ອັນນີ້ແມ່ນຫຼີກລ່ຽງບໍ່ໄດ້. ໃຫ້ພວກເຮົາໝາຍເຖິງ “ພວກເຮົາ” ຮາກສີ່ຫຼ່ຽມຂອງ “ລົບໜຶ່ງ” ດ້ວຍຕົວອັກສອນ i.²= -1. ນີ້ແມ່ນຕົວເລກຫຼັກ "ບໍ່ຈິງ". ແລະນີ້ແມ່ນສິ່ງທີ່ອະທິບາຍຍົນຫັນ 90 ອົງສາ. ເປັນຫຍັງ? ຫລັງ​ຈາກ​ນັ້ນ,²= -1, ແລະການສົມທົບການຫມຸນຫນຶ່ງ 90 ອົງສາກັບການຫມຸນທີ່ຄ້າຍຄືກັນອື່ນເຮັດໃຫ້ເກີດການຫມຸນ 180 ອົງສາ. ປະເພດຂອງການຫມຸນແມ່ນໄດ້ຖືກອະທິບາຍ? ມັນຈະແຈ້ງ - ຫັນ 45 ອົງສາ. ຕົວເລກ -i ຫມາຍຄວາມວ່າແນວໃດ? ມັນສັບສົນເລັກນ້ອຍ:

(-ຂ້ອຍ)² = -i × (−i) = + i² = -1

ດັ່ງນັ້ນ -i ຍັງອະທິບາຍການຫມຸນ 90 ອົງສາ, ພຽງແຕ່ໃນທິດທາງກົງກັນຂ້າມກັບການຫມຸນຂອງ i. ອັນໃດຊ້າຍ ແລະອັນໃດຖືກ? ທ່ານຕ້ອງນັດ. ພວກ​ເຮົາ​ສົມ​ມຸດ​ວ່າ​ຕົວ​ເລກ​ທີ່​ຂ້າ​ພະ​ເຈົ້າ​ລະ​ບຸ​ການ​ຫມຸນ​ໃນ​ທິດ​ທາງ​ທີ່​ນັກ​ຄະ​ນິດ​ສາດ​ຄິດ​ວ່າ​ທາງ​ບວກ​: counterclockwise​. ຕົວເລກ -i ອະທິບາຍການຫມຸນໃນທິດທາງທີ່ຕົວຊີ້ກໍາລັງເຄື່ອນທີ່.

ແຕ່ມີຕົວເລກເຊັ່ນ i ແລະ -i ບໍ? ແມ່ນ! ພວກເຮົາພຽງແຕ່ເອົາໃຫ້ເຂົາເຈົ້າມີຊີວິດ. ຂ້ອຍກຳລັງຟັງຢູ່ບໍ? ວ່າພວກມັນມີພຽງແຕ່ຢູ່ໃນຫົວຂອງພວກເຮົາບໍ? ແລ້ວສິ່ງທີ່ຄາດຫວັງ? ຕົວເລກອື່ນໆທັງໝົດຍັງມີຢູ່ໃນໃຈຂອງພວກເຮົາເທົ່ານັ້ນ. ພວກເຮົາຈໍາເປັນຕ້ອງເບິ່ງວ່າຕົວເລກເກີດໃຫມ່ຂອງພວກເຮົາຈະຢູ່ລອດ. ຫຼາຍທີ່ຊັດເຈນ, ການອອກແບບມີເຫດຜົນແລະພວກເຂົາຈະເປັນປະໂຫຍດສໍາລັບບາງສິ່ງບາງຢ່າງບໍ? ກະລຸນາເອົາຄໍາເວົ້າຂອງຂ້ອຍສໍາລັບມັນວ່າທຸກສິ່ງທຸກຢ່າງແມ່ນດີແລະຕົວເລກໃຫມ່ເຫຼົ່ານີ້ເປັນປະໂຫຍດແທ້ໆ. ຕົວເລກເຊັ່ນ: 3+i, 5-7i, ໃນຮູບແບບທົ່ວໄປກວ່າ: a+bi ເອີ້ນວ່າຕົວເລກຊັບຊ້ອນ. ຂ້າພະເຈົ້າໄດ້ສະແດງໃຫ້ທ່ານເຫັນວິທີທີ່ທ່ານສາມາດເອົາພວກມັນໄດ້ໂດຍການຫມຸນຍົນ. ພວກເຂົາສາມາດຖືກໃສ່ໃນວິທີທີ່ແຕກຕ່າງກັນ: ເປັນຈຸດຂອງຍົນ, ເປັນ polynomials ທີ່ແນ່ນອນ, ເປັນ arrays ຕົວເລກທີ່ແນ່ນອນ ... ແລະແຕ່ລະຄັ້ງພວກມັນຄືກັນ: ສົມຜົນ x.² +1=0 ບໍ່ມີອົງປະກອບ... hocus pocus ແລ້ວ!!!! ຂໍໃຫ້ມີຄວາມສຸກ ແລະ ປິຕິຍິນດີ!!!

ສິ້ນສຸດການທ່ອງທ່ຽວ

ນີ້ສະຫຼຸບການທ່ອງທ່ຽວຄັ້ງທໍາອິດຂອງພວກເຮົາກ່ຽວກັບທີ່ດິນຂອງຕົວເລກປອມ. ຂອງຕົວເລກທີ່ບໍ່ຊ້ໍາກັນອື່ນໆ, ຂ້າພະເຈົ້າຍັງຈະກ່າວເຖິງຈໍານວນຕົວເລກທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດຢູ່ທາງຫນ້າແລະບໍ່ຢູ່ຫລັງ (ພວກມັນຖືກເອີ້ນວ່າ 10-adic, ສໍາລັບພວກເຮົາ p-adic ແມ່ນສໍາຄັນກວ່າ, ບ່ອນທີ່ p ເປັນຕົວເລກຕົ້ນຕໍ), ຕົວຢ່າງ X =. ... ... ... 96109004106619977392256259918212890625

ໃຫ້ນັບ X ກະລຸນາ². ເນື່ອງຈາກວ່າ? ຈະເປັນແນວໃດຖ້າພວກເຮົາຄິດໄລ່ສີ່ຫຼ່ຽມຂອງຕົວເລກທີ່ມີຕົວເລກທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດທີ່ຢູ່ເບື້ອງຫລັງຂອງມັນ? ດີ, ໃຫ້ຂອງເຮັດເຊັ່ນດຽວກັນ. ໃຫ້ຊອກຫາວ່າ X² = ຮ.

ໃຫ້ຊອກຫາຕົວເລກດັ່ງກ່າວອີກອັນໜຶ່ງທີ່ມີຕົວເລກທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດຢູ່ທາງໜ້າທີ່ຕອບສະໜອງສົມຜົນ. ຄຳແນະນຳ: ສີ່ຫຼ່ຽມຂອງຕົວເລກທີ່ລົງທ້າຍດ້ວຍຫົກຍັງລົງທ້າຍດ້ວຍຫົກ. ສີ່ຫຼ່ຽມຂອງຕົວເລກທີ່ລົງທ້າຍດ້ວຍ 76 ຍັງລົງທ້າຍດ້ວຍ 76. ສີ່ຫຼ່ຽມຂອງຕົວເລກທີ່ລົງທ້າຍດ້ວຍ 376 ຍັງລົງທ້າຍດ້ວຍ 376. ສີ່ຫຼ່ຽມຂອງຕົວເລກທີ່ລົງທ້າຍດ້ວຍ 9376 ຍັງລົງທ້າຍດ້ວຍ 9376. ສີ່ຫຼ່ຽມຂອງຕົວເລກລົງທ້າຍດ້ວຍ XNUMX... ຍັງມີຕົວເລກທີ່ມີຂະຫນາດນ້ອຍຫຼາຍ, ເຖິງແມ່ນວ່າພວກເຂົາເປັນບວກ, ພວກມັນຍັງຄົງນ້ອຍກວ່າຕົວເລກບວກອື່ນໆ. ພວກມັນນ້ອຍຫຼາຍຈົນບາງຄັ້ງມັນພຽງພໍທີ່ຈະສີ່ຫຼ່ຽມໃຫ້ເຂົາເຈົ້າໄດ້ສູນ. ມີຕົວເລກທີ່ບໍ່ພໍໃຈກັບເງື່ອນໄຂ a × b = b × a. ຍັງມີຕົວເລກທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດ. ມີຕົວເລກທໍາມະຊາດຈໍານວນເທົ່າໃດ? ຈໍານວນຫຼາຍທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດ? ແມ່ນແລ້ວ, ແຕ່ຫຼາຍປານໃດ? ຕົວເລກນີ້ສາມາດສະແດງອອກໃນຈໍານວນໃດ? ຄໍາຕອບ: ນ້ອຍທີ່ສຸດຂອງຕົວເລກທີ່ບໍ່ມີຂອບເຂດ; ມັນໄດ້ຖືກຫມາຍດ້ວຍຕົວອັກສອນທີ່ສວຍງາມ: A ແລະເສີມດ້ວຍດັດຊະນີສູນ A₀ , aleph-ສູນ.

ຍັງມີຕົວເລກທີ່ພວກເຮົາບໍ່ຮູ້ວ່າມີຢູ່ ... ຫຼືວ່າພວກເຮົາສາມາດເຊື່ອຫຼືບໍ່ເຊື່ອຕາມທີ່ທ່ານກະລຸນາ. ແລະການເວົ້າອັນໃດ: ຂ້ອຍຫວັງວ່າເຈົ້າຍັງມັກຕົວເລກທີ່ບໍ່ເປັນຈິງ, ຕົວເລກປະເພດ Fantasy.