ດັ່ງນັ້ນເພື່ອໃຜ, ນັ້ນຄື: ພະຍາຍາມບ່ອນໃດທີ່ເຈົ້າສາມາດເຮັດໄດ້ - ພາກທີ 2

В предыдущем эпизоде ​​мы имели дело с судоку, арифметической игрой, в которой числа в основном располагаются на различных диаграммах в соответствии с определенными правилами. Самый распространенный вариант — шахматная доска 9×9, дополнительно разделенная на девять клеток 3×3. Цифры от 1 до 9 должны быть установлены на нем так, чтобы они не повторялись ни в вертикальном ряду (математики говорят: в столбик), ни в горизонтальном ряду (математики говорят: в ряду) — и, кроме того, чтобы они не повторялись. повторить в пределах любого меньшего квадрата.

Na ໝາກເດື່ອ. 1 мы видим эту головоломку в более простой версии, которая представляет собой квадрат 6 × 6, разделенный на прямоугольники 2 × 3. Вставляем в него числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 — так, чтобы они не повторялись ни по вертикали, ни по горизонтали, ни в каждом из выделенных шестиугольников.

Давайте попробуем показано в верхнем квадрате. Сможете ли вы заполнить его цифрами от 1 до 6 по правилам, установленным для этой игры? Можно – но неоднозначно. Посмотрим – дорисовываем квадрат слева или квадрат справа.

Можно сказать, что это не основа для головоломки. Обычно мы предполагаем, что у головоломки есть одно решение. Задача поиска разных оснований для «большой» судоку, 9×9, является сложной задачей и полностью решить ее нет никаких шансов.

Еще одна важная связь – противоречивая система. Нижний средний квадрат (тот, что с цифрой 2 в правом нижнем углу) не может быть завершен. Почему?

Веселье и отступления

Играем дальше. Воспользуемся детской интуицией. Они считают, что развлечение — это введение в обучение. Выйдем в космос. включен ໝາກເດື່ອ. 2 все видят сетку тетраэдриз шариков, например, шариков для пинг-понга? Вспомним школьные уроки геометрии. Цвета в левой части рисунка объясняют, к чему приклеивается при сборке блока. В частности, три угловых (красных) шарика будут склеены в один. Поэтому в них должно стоять одинаковое число. Может быть 9. Почему? И почему бы нет?

О, я не сформулировал это ໜ້າ ວຽກ. Звучит это примерно так: можно ли в видимую сетку вписать числа от 0 до 9 так, чтобы каждая грань содержала все числа? Задача не сложная, а сколько надо представлять! Не буду портить удовольствие читателям и не буду приводить решение.

Это очень красивая и недооцененная форма octahedron ປົກກະຕິ, построенный из двух пирамид (=пирамид) с квадратным основанием. Как следует из названия, у октаэдра восемь граней.

В октаэдре шесть вершин. Это противоречит cubeкоторый имеет шесть граней и восемь вершин. Края обоих комочков одинаковые – по двенадцать. Это двойные твердые тела – это означает, что соединив центры граней куба мы получим октаэдр, а центры граней октаэдра дадут нам куб. Обе эти шишки выполняют («потому что должны») формула Эйлера: Сумма количества вершин и количества граней на 2 больше, чем количество ребер.

3. Правильный октаэдр в параллельной проекции и решетка октаэдра, составленная из сфер таким образом, что каждое ребро имеет четыре сферы.

ວຽກງານ 1. Сначала запишите последнее предложение предыдущего абзаца с помощью математической формулы. На ໝາກເດື່ອ. 3 вы видите октаэдрическую сетку, также состоящую из сфер. На каждом ребре по четыре шара. Каждая грань представляет собой треугольник из десяти сфер. Самостоятельно ставится задача: можно ли в кружочки сетки поставить числа от 0 до 9 так, чтобы после склейки сплошного тела каждая стенка содержала все числа (следует, что без повторения). Как и прежде, наибольшую трудность в этой задаче представляет то, как сетка превращается в твердое тело. Я не могу объяснить это письменно, поэтому и здесь не привожу решения.

4. Два икосаэдра из шариков для пинг-понга. Обратите внимание на другую цветовую схему.

ແລ້ວ Plato (а жил он в V-IV вв. до н.э.) знал все правильные многогранники: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр i икосаэдр. Удивительно, как он туда попал – ни карандаша, ни бумаги, ни ручки, ни книг, ни смартфона, ни интернета! Я не буду говорить здесь о додекаэдре. Но интересна икосаэдрическая судоку. Мы видим этот комок на ຮູບ​ພາບ 4и его сеть на ຮູບ 5.

5. Правильная сетка икосаэдра.

По-прежнему, это не сетка в том смысле, в каком мы помним (?!) из школы, а способ склейки треугольников из шаров (шариков).

ວຽກງານ 2. Сколько нужно шаров, чтобы собрать такой икосаэдр? Остается ли правильным следующее рассуждение: поскольку каждая грань — треугольник, если граней должно быть 20, то нужно целых 60 сфер?

6. Сетка икосаэдра из сфер. Каждый круг представляет собой, например, шарик для пинг-понга, но построение кружков на окружности, отмеченных одним цветом, сливается в одно целое. Итак, у нас есть двенадцать сфер (= двенадцать вершин: красная, синяя, фиолетовая, синяя и восемь желтых).

Нетрудно заметить, что трех чисел в икосаэдре недостаточно. Точнее: нельзя занумеровать вершины номерами 1, 2, 3 так, чтобы каждая (треугольная) грань имела эти три номера и не было повторений. А можно ли с четырьмя номерами? Да это возможно! Давайте посмотрим на ເຂົ້າ. 6 ແລະ 7.

7. Вот как пронумеровать сферы, составляющие икосаэдр, чтобы каждая грань содержала числа, отличные от 1, 2, 3, 4. Какое из тел на рис. 4 окрашено таким образом?

ວຽກງານ 3. Три из четырех чисел можно выбрать четырьмя способами: 123, 124, 134, 234. Найдите пять таких треугольников в икосаэдре на рис. 7 (а также из ພາບປະກອບ ຫນຶ່ງ).

ວຽກ 4 (нужно очень хорошее пространственное воображение). У икосаэдра двенадцать вершин, а значит, его можно склеить из двенадцати шаров (ໝາກເດື່ອ. 7). Обратите внимание, что есть три вершины (= шары), помеченные цифрой 1, три — цифрой 2 и так далее. Таким образом, шарики одного цвета образуют треугольник. Что это за треугольник? Может равносторонний? Посмотрите еще раз ພາບປະກອບ ຫນຶ່ງ.

Следующее задание для дедушки/бабушки и внука/внучки. Родители тоже могут наконец попробовать свои силы, но им нужно терпение и время.

ວຽກງານ 5. Купите двенадцать (а лучше 24) шариков для пинг-понга, немного краски четырех цветов, кисточку и нужный клей — я не рекомендую быстрые, такие как Суперклей или Капелька, потому что они слишком быстро сохнут и опасны для детей. Приклейте икосаэдр. Оденьте внучку в футболку, которую сразу после этого постирают (или выбросят). Накройте стол фольгой (лучше газетами). Аккуратно раскрасьте икосаэдр четырьмя цветами 1, 2, 3, 4, как показано на рис. ໝາກເດື່ອ. 7. Вы можете изменить порядок – сначала раскрасьте шарики, а затем склеивайте их. При этом крохотные кружочки нужно оставлять незакрашенными, чтобы не прилипала краска к краске.

Теперь самое сложное задание (точнее вся их последовательность).

ວຽກ 6 (точнее общая тема). Постройте икосаэдр как тетраэдр и октаэдр на ເຂົ້າ. 2 ແລະ 3 – значит, на каждом ребре должно быть по четыре шара. В этом варианте задача и трудоемкая, и даже затратная. Начнем с того, что выясним, сколько мячей понадобится. Каждая грань имеет десять сфер, значит, для икосаэдра нужно двести? Нет! Мы должны помнить, что многие мячи являются общими. Сколько ребер у икосаэдра? Его можно кропотливо посчитать, но для чего нужна формула Эйлера?

ш–к+с=2

где w, k, s — количество вершин, ребер и граней соответственно. Мы помним, что w = 12, s = 20, а значит, k = 30. У нас есть 30 ребер икосаэдра. Можно сделать иначе, потому что если треугольников 20, то у них всего 60 ребер, но два из них общие.

Посчитаем, сколько мячей нужно. В каждом треугольнике есть только один внутренний шар — ни на вершине нашего тела, ни на ребре. Таким образом, у нас всего 20 таких шаров. Есть 12 вершин. На каждом ребре есть два невершинных шара (они находятся внутри ребра, но не внутри грани). Поскольку ребер 30, получится 60 шариков, но два из них общие, а это значит, что вам нужно всего 30 шариков, так что всего нужно 20 + 12 + 30 = 62 шарика. Шары можно купить не менее чем за 50 грошей (обычно дороже). Если добавить стоимость клея, то выйдет… много. Хорошая склейка требует нескольких часов кропотливой работы. Все вместе подходит для спокойного времяпрепровождения — рекомендую их вместо, например, просмотра телевизора.

Отступление 1. В цикле фильмов Анджея Вайды «По годам, по дням» двое мужчин играют в шахматы, «потому что надо как-то скоротать время до обеда». Это происходит в галицком Кракове. Действительно: газеты уже прочитаны (тогда в них было 4 страницы), телевизора и телефона еще не изобрели, футбольных матчей нет. Скука по лужам. В такой ситуации люди придумали себе развлечение. Сегодня они у нас после нажатия на пульт…

Отступление 2. На собрании Ассоциации учителей математики в 2019 году испанский профессор продемонстрировал компьютерную программу, которая может раскрашивать стены из твердых тел в любой цвет. Было немного жутковато, потому что рисовали только руки, почти отрезали тело. Я подумал про себя: сколько удовольствия можно получить от такой «закраски»? На все уходит две минуты, а к четвертой мы уже ничего не помним. Между тем старомодное «рукоделие» успокаивает и воспитывает. Кто не верит, пусть попробует.

Вернемся в XNUMX век и к нашим реалиям. Если мы не хотим расслабления в виде трудоемкой склейки шаров, то нарисуем хотя бы сетку икосаэдра, ребра которой имеют четыре шара. Как это сделать? Крошить правильно ຮູບ 6. Внимательный читатель уже угадывает задачу:

ວຽກງານ 7. Можно ли занумеровать шары числами от 0 до 9 так, чтобы все эти числа оказались на каждой грани такого икосаэдра?

За что нам платят?

Сегодня мы часто задаемся вопросом о цели нашей деятельности, а «серый налогоплательщик» спросит, почему он должен платить математикам за решение таких головоломок?

Ответ довольно прост. Такие «головоломки», интересные сами по себе, являются «фрагментом чего-то более серьезного». Ведь военные парады – это только внешняя, зрелищная часть нелёгкой службы. Я приведу только один пример, но начну со странного, но всемирно признанного математического предмета. В 1852 году английский студент спросил своего профессора, можно ли какую-нибудь карту раскрасить четырьмя цветами, чтобы соседние страны всегда отображались разными цветами? Позвольте мне добавить, что мы не считаем «соседними» те, которые встречаются только в одной точке, например, штаты Вайоминг и Юта в США. Профессор не знал… и проблема ждала решения более ста лет.

8. Икосаэдр из блоков РЕКО. Отражатели вспышки показывают, что общего у икосаэдра с треугольником и пятиугольником. В каждой вершине сходятся пять треугольников.

Это произошло с неожиданной стороны. В 1976 году группа американских математиков написала программу для решения этой проблемы (и они решили: да, четырех цветов всегда будет достаточно). Это было первое доказательство математического факта, полученное с помощью «математической машины» — как полвека назад называли компьютер (а еще раньше: «электронный мозг»).

Вот специально показанная “карта Европы” (ໝາກເດື່ອ. 9). Те страны, которые имеют общую границу, связаны. Раскрашивать карту — это то же самое, что раскрашивать окружности этого графа (называемого графом) так, чтобы никакие соединенные окружности не были одного цвета. Взгляд на Лихтенштейн, Бельгию, Францию ​​и Германию показывает, что трех цветов недостаточно. Если хочешь, Читатель, раскрась четырьмя цветами.

9. Кто с кем граничит в Европе?

Ну да, но стоит ли это денег налогоплательщиков? Итак, давайте посмотрим на тот же график немного по-другому. Забудем, что есть государства и границы. Пусть круги символизируют информационные пакеты, подлежащие отправке из одной точки в другую (например, из P в EST), а отрезки — возможные соединения, каждое из которых имеет свою пропускную способность. Отправить как можно быстрее?

Во-первых, давайте рассмотрим очень упрощенную, но также очень интересную с математической точки зрения ситуацию. Мы должны отправить что-то из точки S (= как начало) в точку M (= финиш), используя сеть соединений с той же пропускной способностью, скажем, 1. Мы видим это в ໝາກເດື່ອ. 10.

10. Сеть соединений от Стацыйки Здруй до Мегаполиса.

Представим, что от S к M нужно отправить около 89 бит информации. Автору этих слов нравятся задачи о поездах, поэтому он воображает, что он менеджер на Стацие Здруй, откуда он должен направить 144 вагона. до станции Мегаполис. Почему именно 144? Потому что, как мы увидим, это будет использоваться для расчета пропускной способности всей сети. Вместимость равна 1 на каждом участке, т.е. в единицу времени может проехать один вагон (один информационный бит, возможно, также Гигабайт).

Убедимся, что все вагоны встречаются одновременно в M. Все добираются туда за 89 единиц времени. Если у меня есть очень важный информационный пакет от S до M для отправки, я разбиваю его на группы по 144 единицы и проталкиваю, как указано выше. Математика гарантирует, что это будет самым быстрым. Как я узнал, что вам нужно 89? Я на самом деле догадался, но если бы я не догадался, мне пришлось бы разобраться уравнения Кирхгофа (кто-нибудь помнит? – это уравнения, описывающие течение тока). Пропускная способность сети составляет 184/89, что примерно равно 1,62.

О радости

Кстати, мне нравится номер 144. Мне нравилось ездить на автобусе с этим номером до Замковой площади в Варшаве — когда рядом с ней не было восстановленного Королевского замка. Возможно, юные читатели знают, что такое дюжина. Это 12 копий, но только читатели постарше помнят, что дюжина дюжин, т.е. 122=144, это так называемая много. И все, кто знает математику чуть больше, чем по школьной программе, сразу поймут, что ໝາກເດື່ອ. 10 у нас есть числа Фибоначчи и что пропускная способность сети близка к «золотому числу»

В последовательности Фибоначчи 144 — единственное число, являющееся полным квадратом. Сто сорок четыре — тоже «радостное число». Вот как индийский математик-любитель Даттатрея Рамачандра Капрекар в 1955 году он назвал числа, которые делятся на сумму составляющих их цифр:

Если бы он знал это Adam Mickiewicz, он непременно написал бы нет в Дзяды: «От чужой матери; его кровь – его старые герои / И имя ему сорок четыре, только изящнее: И имя ему сто сорок четыре.

Относитесь к развлечениям серьезно

Надеюсь, я убедил читателей в том, что задачи-головоломки судоку — это развлекательная сторона вопросов, которые, безусловно, заслуживают серьезного отношения. Я не могу больше развивать эту тему. О, полный расчет пропускной способности сети из диаграммы, представленной на ໝາກເດື່ອ. 9 написание системы уравнений заняло бы два или более часа – возможно, даже десятки секунд (!) работы компьютера.